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测试ln22 ^ 2 + ln33 ^ 2 +。+ Lnnn ^ 2

时间:2019/10/06    点击量:

质量响应
当n = 2时,不等式的左端= ln 2/2 ^ 2,不等式的右端= 5/12,ln 2/2 ^ 2 <5/12,不等式成立。假设不等式是n = k(k整数2是正整数),即ln 2/2 ^ 2 + ln 3/3 ^ 2 +。
保持+ lnk / k ^ 2 <(2k ^ 2-k-1)/[4(k + 1)],并且向两端添加ln(k + 1)/(k + 1)^ 2。获得ln 2/2 ^ 2 + ln 3/3 ^ 2 +的不等式
+ lnk / k ^ 2 + ln(k + 1)/(k + 1)^ 2 <(2 k ^ 2-k-1)/(4 k + 4)+ ln(k + 1)/(k + 1)^ 21,很容易证明ln(k + 1) + lnk / k ^ 2 + ln(k + 1)/(k + 1)^ 2 <(2 k ^ 2-k-1)/(4 k + 4)+(k + 1)/(k + 1)^2 =(2k ^ 2-k + 3)/(4k + 4)2并证明(2k ^ 2-k + 3)/(4k + 4)<[2(k + 1)^ 2-()很容易。由于k≥2,4保持且3成立,因此不等式可以减少到3 + lnk / k ^ 2 + ln(k + 1)/(k + 1)^ 2 <[2(k + 1)^ 2-(k + 1)-1]/ 4[(k + 1)+ 1也就是说,当n = k + 1时,不等式也成立。对于n 2 2的所有正整数,保持原始不等式。